问题描述
校园最短路径实验
1、给出校园中常用的几个点，如教室550、文宗楼、三个食堂、大操场、宿舍楼（自定）、校门口、体育场；
2、画图并给出其邻接矩阵（请合作完成）；
3、用floyd算法求每对顶点间的最短路。
迪杰斯特拉（Dijkstra）算法
Dijkstra算法是经典的单源最短路径算法，用于计算源点到其它所有顶点的最短路径。在图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的权值距离为 w[i]，找到由源点 v0 到其余各点的最短路径。
适用：不含负权重的图
算法当中，对图的遍历方式为BFS（广度优先遍历）
代码
/**
* C++: Floyd算法获取最短路径(邻接矩阵)
*
*/
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 边的结构体
class EData
{
public:
char start; // 边的起点
char end; // 边的终点
int weight; // 边的权重
public:
EData(){}
EData(char s, char e, int w):start(s),end(e),weight(w){}
};
class MatrixUDG {
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31)) // 无穷大(即0X7FFFFFFF)
private:
char mVexs[MAX]; // 顶点集合
int mVexNum; // 顶点数
int mEdgNum; // 边数
int mMatrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
public:
// 创建图(自己输入数据)
MatrixUDG();
// 创建图(用已提供的矩阵)
//MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);
MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9]);
~MatrixUDG();
// 深度优先搜索遍历图
void DFS();
// 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
void BFS();
// prim最小生成树(从start开始生成最小生成树)
void prim(int start);
// 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
void kruskal();
// Dijkstra最短路径
void dijkstra(int vs, int vexs[], int dist[]);
// Floyd最短路径
void floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX]);
// 打印矩阵队列图
void print();
private:
// 读取一个输入字符
char readChar();
// 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
int getPosition(char ch);
// 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
int firstVertex(int v);
// 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
int nextVertex(int v, int w);
// 深度优先搜索遍历图的递归实现
void DFS(int i, int *visited);
// 获取图中的边
EData* getEdges();
// 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
void sortEdges(EData* edges, int elen);
// 获取i的终点
int getEnd(int vends[], int i);
};
/*
* 创建图(自己输入数据)
*/
MatrixUDG::MatrixUDG()
{
char c1, c2;
int i, j, weight, p1, p2;
// 输入"顶点数"和"边数"
cout << "input vertex number: ";
cin >> mVexNum;
cout << "input edge number: ";
cin >> mEdgNum;
if ( mVexNum < 1 || mEdgNum < 1 || (mEdgNum > (mVexNum * (mVexNum-1))))
{
cout << "input error: invalid parameters!" << endl;
return ;
}
// 初始化"顶点"
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
cout << "vertex(" << i << "): ";
mVexs[i] = readChar();
}
// 1. 初始化"边"的权值
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
if (i==j)
mMatrix[i][j] = 0;
else
mMatrix[i][j] = INF;
}
}
// 2. 初始化"边"的权值: 根据用户的输入进行初始化
for (i = 0; i < mEdgNum; i++)
{
// 读取边的起始顶点，结束顶点，权值
cout << "edge(" << i << "): ";
c1 = readChar();
c2 = readChar();
cin >> weight;
p1 = getPosition(c1);
p2 = getPosition(c2);
if (p1==-1 || p2==-1)
{
cout << "input error: invalid edge!" << endl;
return ;
}
mMatrix[p1][p2] = weight;
mMatrix[p2][p1] = weight;
}
}
/*
* 创建图(用已提供的矩阵)
*
* 参数说明：
* vexs -- 顶点数组
* vlen -- 顶点数组的长度
* matrix-- 矩阵(数据)
*/
MatrixUDG::MatrixUDG(char vexs[], int vlen, int matrix[][9])
{
int i, j;
// 初始化"顶点数"和"边数"
mVexNum = vlen;
// 初始化"顶点"
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
mVexs[i] = vexs[i];
// 初始化"边"
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
mMatrix[i][j] = matrix[i][j];
// 统计边的数目
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
if (i!=j && mMatrix[i][j]!=INF)
mEdgNum++;
mEdgNum /= 2;
}
/*
* 析构函数
*/
MatrixUDG::~MatrixUDG()
{
}
/*
* 返回ch在mMatrix矩阵中的位置
*/
int MatrixUDG::getPosition(char ch)
{
int i;
for(i=0; i<mVexNum; i++)
if(mVexs[i]==ch)
return i;
return -1;
}
/*
* 读取一个输入字符
*/
char MatrixUDG::readChar()
{
char ch;
do {
cin >> ch;
} while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z')));
return ch;
}
/*
* 返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
int MatrixUDG::firstVertex(int v)
{
int i;
if (v<0 || v>(mVexNum-1))
return -1;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
if (mMatrix[v][i]!=0 && mMatrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 返回顶点v相对于w的下一个邻接顶点的索引，失败则返回-1
*/
int MatrixUDG::nextVertex(int v, int w)
{
int i;
if (v<0 || v>(mVexNum-1) || w<0 || w>(mVexNum-1))
return -1;
for (i = w + 1; i < mVexNum; i++)
if (mMatrix[v][i]!=0 && mMatrix[v][i]!=INF)
return i;
return -1;
}
/*
* 深度优先搜索遍历图的递归实现
*/
void MatrixUDG::DFS(int i, int *visited)
{
int w;
visited[i] = 1;
cout << mVexs[i] << " ";
// 遍历该顶点的所有邻接顶点。若是没有访问过，那么继续往下走
for (w = firstVertex(i); w >= 0; w = nextVertex(i, w))
{
if (!visited[w])
DFS(w, visited);
}
}
/*
* 深度优先搜索遍历图
*/
void MatrixUDG::DFS()
{
int i;
int visited[MAX]; // 顶点访问标记
// 初始化所有顶点都没有被访问
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
visited[i] = 0;
cout << "DFS: ";
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
//printf("\n== LOOP(%d)\n", i);
if (!visited[i])
DFS(i, visited);
}
cout << endl;
}
/*
* 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）
*/
void MatrixUDG::BFS()
{
int head = 0;
int rear = 0;
int queue[MAX]; // 辅组队列
int visited[MAX]; // 顶点访问标记
int i, j, k;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
visited[i] = 0;
cout << "BFS: ";
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
if (!visited[i])
{
visited[i] = 1;
cout << mVexs[i] << " ";
queue[rear++] = i; // 入队列
}
while (head != rear)
{
j = queue[head++]; // 出队列
for (k = firstVertex(j); k >= 0; k = nextVertex(j, k)) //k是为访问的邻接顶点
{
if (!visited[k])
{
visited[k] = 1;
cout << mVexs[k] << " ";
queue[rear++] = k;
}
}
}
}
cout << endl;
}
/*
* 打印矩阵队列图
*/
void MatrixUDG::print()
{
int i,j;
cout << "Martix Graph:" << endl;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
cout << setw(10) << mMatrix[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
/*
* prim最小生成树
*
* 参数说明：
* start -- 从图中的第start个元素开始，生成最小树
*/
void MatrixUDG::prim(int start)
{
int min,i,j,k,m,n,sum;
int index=0; // prim最小树的索引，即prims数组的索引
char prims[MAX]; // prim最小树的结果数组
int weights[MAX]; // 顶点间边的权值
// prim最小生成树中第一个数是"图中第start个顶点"，因为是从start开始的。
prims[index++] = mVexs[start];
// 初始化"顶点的权值数组"，
// 将每个顶点的权值初始化为"第start个顶点"到"该顶点"的权值。
for (i = 0; i < mVexNum; i++ )
weights[i] = mMatrix[start][i];
// 将第start个顶点的权值初始化为0。
// 可以理解为"第start个顶点到它自身的距离为0"。
weights[start] = 0;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
// 由于从start开始的，因此不需要再对第start个顶点进行处理。
if(start == i)
continue;
j = 0;
k = 0;
min = INF;
// 在未被加入到最小生成树的顶点中，找出权值最小的顶点。
while (j < mVexNum)
{
// 若weights[j]=0，意味着"第j个节点已经被排序过"(或者说已经加入了最小生成树中)。
if (weights[j] != 0 && weights[j] < min)
{
min = weights[j];
k = j;
}
j++;
}
// 经过上面的处理后，在未被加入到最小生成树的顶点中，权值最小的顶点是第k个顶点。
// 将第k个顶点加入到最小生成树的结果数组中
prims[index++] = mVexs[k];
// 将"第k个顶点的权值"标记为0，意味着第k个顶点已经排序过了(或者说已经加入了最小树结果中)。
weights[k] = 0;
// 当第k个顶点被加入到最小生成树的结果数组中之后，更新其它顶点的权值。
for (j = 0 ; j < mVexNum; j++)
{
// 当第j个节点没有被处理，并且需要更新时才被更新。
if (weights[j] != 0 && mMatrix[k][j] < weights[j])
weights[j] = mMatrix[k][j];
}
}
// 计算最小生成树的权值
sum = 0;
for (i = 1; i < index; i++)
{
min = INF;
// 获取prims[i]在mMatrix中的位置
n = getPosition(prims[i]);
// 在vexs[0...i]中，找出到j的权值最小的顶点。
for (j = 0; j < i; j++)
{
m = getPosition(prims[j]);
if (mMatrix[m][n]<min)
min = mMatrix[m][n];
}
sum += min;
}
// 打印最小生成树
cout << "PRIM(" << mVexs[start] << ")=" << sum << ": ";
for (i = 0; i < index; i++)
cout << prims[i] << " ";
cout << endl;
}
/*
* 获取图中的边
*/
EData* MatrixUDG::getEdges()
{
int i,j;
int index=0;
EData *edges;
edges = new EData[mEdgNum];
for (i=0; i < mVexNum; i++)
{
for (j=i+1; j < mVexNum; j++)
{
if (mMatrix[i][j]!=INF)
{
edges[index].start = mVexs[i];
edges[index].end = mVexs[j];
edges[index].weight = mMatrix[i][j];
index++;
}
}
}
return edges;
}
/*
* 对边按照权值大小进行排序(由小到大)
*/
void MatrixUDG::sortEdges(EData* edges, int elen)
{
int i,j;
for (i=0; i<elen; i++)
{
for (j=i+1; j<elen; j++)
{
if (edges[i].weight > edges[j].weight)
{
// 交换"边i"和"边j"
swap(edges[i], edges[j]);
}
}
}
}
/*
* 获取i的终点
*/
int MatrixUDG::getEnd(int vends[], int i)
{
while (vends[i] != 0)
i = vends[i];
return i;
}
/*
* 克鲁斯卡尔（Kruskal)最小生成树
*/
void MatrixUDG::kruskal()
{
int i,m,n,p1,p2;
int length;
int index = 0; // rets数组的索引
int vends[MAX]={0}; // 用于保存"已有最小生成树"中每个顶点在该最小树中的终点。
EData rets[MAX]; // 结果数组，保存kruskal最小生成树的边
EData *edges; // 图对应的所有边
// 获取"图中所有的边"
edges = getEdges();
// 将边按照"权"的大小进行排序(从小到大)
sortEdges(edges, mEdgNum);
for (i=0; i<mEdgNum; i++)
{
p1 = getPosition(edges[i].start); // 获取第i条边的"起点"的序号
p2 = getPosition(edges[i].end); // 获取第i条边的"终点"的序号
m = getEnd(vends, p1); // 获取p1在"已有的最小生成树"中的终点
n = getEnd(vends, p2); // 获取p2在"已有的最小生成树"中的终点
// 如果m!=n，意味着"边i"与"已经添加到最小生成树中的顶点"没有形成环路
if (m != n)
{
vends[m] = n; // 设置m在"已有的最小生成树"中的终点为n
rets[index++] = edges[i]; // 保存结果
}
}
delete[] edges;
// 统计并打印"kruskal最小生成树"的信息
length = 0;
for (i = 0; i < index; i++)
length += rets[i].weight;
cout << "Kruskal=" << length << ": ";
for (i = 0; i < index; i++)
cout << "(" << rets[i].start << "," << rets[i].end << ") ";
cout << endl;
}
/*
* Dijkstra最短路径。
* 即，统计图中"顶点vs"到其它各个顶点的最短路径。
*
* 参数说明：
* vs -- 起始顶点(start vertex)。即计算"顶点vs"到其它顶点的最短路径。
* prev -- 前驱顶点数组。即，prev[i]的值是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径所经历的全部顶点中，位于"顶点i"之前的那个顶点。
* dist -- 长度数组。即，dist[i]是"顶点vs"到"顶点i"的最短路径的长度。
*/
void MatrixUDG::dijkstra(int vs, int prev[], int dist[])
{
int i,j,k;
int min;
int tmp;
int flag[MAX]; // flag[i]=1表示"顶点vs"到"顶点i"的最短路径已成功获取。
// 初始化
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
flag[i] = 0; // 顶点i的最短路径还没获取到。
prev[i] = 0; // 顶点i的前驱顶点为0。
dist[i] = mMatrix[vs][i]; // 顶点i的最短路径为"顶点vs"到"顶点i"的权。
}
// 对"顶点vs"自身进行初始化
flag[vs] = 1;
dist[vs] = 0;
// 遍历mVexNum-1次；每次找出一个顶点的最短路径。
for (i = 1; i < mVexNum; i++)
{
// 寻找当前最小的路径；
// 即，在未获取最短路径的顶点中，找到离vs最近的顶点(k)。
min = INF;
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
if (flag[j]==0 && dist[j]<min)
{
min = dist[j];
k = j;
}
}
// 标记"顶点k"为已经获取到最短路径
flag[k] = 1;
// 修正当前最短路径和前驱顶点
// 即，当已经"顶点k的最短路径"之后，更新"未获取最短路径的顶点的最短路径和前驱顶点"。
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
tmp = (mMatrix[k][j]==INF ? INF : (min + mMatrix[k][j]));
if (flag[j] == 0 && (tmp < dist[j]) )
{
dist[j] = tmp;
prev[j] = k;
}
}
}
// 打印dijkstra最短路径的结果
cout << "dijkstra(" << mVexs[vs] << "): " << endl;
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
cout << " shortest(" << mVexs[vs] << ", " << mVexs[i] << ")=" << dist[i] << endl;
}
/*
* floyd最短路径。
* 即，统计图中各个顶点间的最短路径。
*
* 参数说明：
* path -- 路径。path[i][j]=k表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径会经过顶点k。
* dist -- 长度数组。即，dist[i][j]=sum表示，"顶点i"到"顶点j"的最短路径的长度是sum。
*/
void MatrixUDG::floyd(int path[][MAX], int dist[][MAX])
{
int i,j,k;
int tmp;
// 初始化
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
dist[i][j] = mMatrix[i][j]; // "顶点i"到"顶点j"的路径长度为"i到j的权值"。
path[i][j] = j; // "顶点i"到"顶点j"的最短路径是经过顶点j。
}
}
// 计算最短路径
for (k = 0; k < mVexNum; k++)
{
for (i = 0; i < mVexNum; i++)
{
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
{
// 如果经过下标为k顶点路径比原两点间路径更短，则更新dist[i][j]和path[i][j]
tmp = (dist[i][k]==INF || dist[k][j]==INF) ? INF : (dist[i][k] + dist[k][j]);
if (dist[i][j] > tmp)
{
// "i到j最短路径"对应的值设，为更小的一个(即经过k)
dist[i][j] = tmp;
// "i到j最短路径"对应的路径，经过k
path[i][j] = path[i][k];
}
}
}
}
char dot[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'};
// 打印floyd最短路径的结果
cout << "floyd各个地点的最短路径矩阵如下: " << endl;
cout << " ";
for (int k = 0;k<9;k++){
cout << dot[k] << " ";
}
cout << "\n";
for (i = 0; i < mVexNum; i++){
cout << dot[i] << ": ";
for (j = 0; j < mVexNum; j++)
cout << setw(2) << dist[i][j] << " ";
cout << endl;
}
}
int main()
{
int prev[MAX] = {0};
int dist[MAX] = {0};
int path[MAX][MAX] = {0}; // 用于保存floyd路径
int floy[MAX][MAX] = {0}; // 用于保存floyd长度
char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G', 'H', 'I'};
int matrix[][9] = {
/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*H*//*I*/
/*A西门*/ { 0, 615, 435, 210, 790, INF, INF, INF, INF},
/*B550教室*/ { 615, 0, 144, 620, 380, 822, INF, INF, INF},
/*C文宗楼*/ { 435, 144, 0, INF, 265, INF, INF, INF, INF},
/*D二餐*/ { 210, 620, INF, 0, 480, INF, INF, INF, 170},
/*E图书馆*/ { 790, 380, 265, 480, 0, 620, 735, 310, 700},
/*F北门*/ { INF, 822, INF, INF, 620, 0, 500, INF, INF},
/*G体育馆*/ { INF, INF, INF, INF, 735, 500, 0, 556, INF},
/*H一餐*/ { INF, INF, INF, INF, 310, INF, 556, 0, 420},
/*I16号楼*/ { INF, INF, INF, 170, 700, INF, INF, 420, 0}};
int vlen = sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
MatrixUDG* pG;
// 自定义"图"(输入矩阵队列)
//pG = new MatrixUDG();
// 采用已有的"图"
pG = new MatrixUDG(vexs, vlen, matrix);
//pG->print(); // 打印图
//pG->DFS(); // 深度优先遍历
//pG->BFS(); // 广度优先遍历
//pG->prim(0); // prim算法生成最小生成树
//pG->kruskal(); // Kruskal算法生成最小生成树
// dijkstra算法获取"第4个顶点"到其它各个顶点的最短距离
//pG->dijkstra(3, prev, dist);
// floyd算法获取各个顶点之间的最短距离
pG->floyd(path, floy);
return 0;
}
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